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  Leray的发觉为处理NS问题开创了一个新方式:我们能够从Leray解起头(由于晓得Leray解老是具有),再看看能否能将Leray解转换成想要证明为永久具有的滑腻解。这个过程就雷同于从一张粗拙的图片起头,再试图基于这个根本往上添加消息,以获得一个更实在的完满图像。

  为领会决这个问题,数学家测验考试成长了很多方式。 在客岁9月,普林斯顿大学的数学家 Tristan Buckmaster 和 Vlad Vicol 在网上提交了一篇论文,激发了大师对一个问题的思虑,即多年来数学家用来探索NS方程问题的一种次要方式,能否有成功的可能性。Buckmaster 和 Vicol 发觉,在某些假设前提下,NS方程对物理世界的描述不分歧。

  飘荡的划子发生水波,高速飞翔的喷气机发生湍流。数学家和物理学家相信,对纳维叶-斯托克斯方程的理解,能够找到对风和湍流的注释和预测。虽然这些方程在19世纪就被提出,但我们对它们仍知之甚少。我们面对的挑战是在数学理论做出本色性的前进,从而揭开躲藏在纳维叶-斯托克斯方程背后中的奥秘。

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  ○当两种流体以分歧的速度越过相互时,会呈现复杂的不不变性。数学家想要证明Navier-Stokes方程能够预测在每种环境下会发生什么。 图片来历:Quanta Magazine

  还有一点,NS方程的解对应的是实在的物理事务,而物理事务的发生是单向的。因而,方程应只要一组并世无双的解。若是你获得了好几组可能的解,那就意味着方程失效了。

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  Buckmaster 和 Vicol 也在从“层”的角度思虑,他们将目光对准了 Leray 解,证明它们也答应多轨物理学,即统一处境下的不异流体可具有不止一种形式的将来。

  De Lellis 说:“他们的成果当然是一种警告,可是你能够认为这是对弱解的最弱看法的警告。在NS方程中,有很多能让我们对更好的表述报以期许的层面(更强的解)。”

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  在他们新颁发的论文中,Buckmaster 和 Vicol 考虑的是比Leray解还要更弱的解,与 Leray解具有不异的平均道理,并同时额外放松了一个被称为“能量不等式”的要求。他们利用一种叫做“凸体积分”的方式,它发源于数学家约翰·纳什(John Nash)在几何学方面的工作,并在比来被援用到流体研究中。

  这就是千禧年大奖问题的主题,它切磋的问题是NS方程能否对所有时辰的所有起点都有解。这些解必需为流体中的每个点的流动供给切确的标的目的和大小。以无限精细的分辩率供给消息的解被称为“滑腻”解。一个滑腻解能让向量场中的每一个点都有与其相关的向量,使流体能够“平稳地”在场内流动,而不会陷在那些无从晓得下一步该往哪挪动的没有向量的点上。

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  通过这种方式,Buckmaster 和 Vicol 证了然NS方程的这些很是弱的解长短独一的。他们展现了若是从一个完全安静的流体起头,例如摆放在床边的一杯水,会有两种环境可能发生。第一种环境是显而易见的:水始于静止并永久静止。第二个环境是匪夷所思的,但在数学上却可行:即水起头静止,但在三更俄然迸发,然后又回到静止。这证了然方程解的非独一性。

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  Vicol 说:“Tristan和我认为,Leray解并非独一的。虽然我们此刻还没能证明这一点,但我们的工作正在为若何处理这个问题奠基根本。”

  Buckmaster 和 Vicol 的研究表白,当我们将NS方程的解设定得很是粗略时(比如草图之于照片),方程的输出便起头得到意义:对统一流体,从不异的初始前提起头,可能会呈现两个或更多的很是分歧的终态。若是这种环境发生的话,就意味着这些方程就不克不及靠得住地反映我们想要描述的物理世界。

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  同时,失效也是一个预示着方程中得到了某些该当描述却没能描述的物理世界。Buckmaster 说:“这也许意味着方程没能捕捉到实在流体的所无效应,由于在实在流体中,我们不会看到粒子以无限快的速度活动。”

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  1934年,法国数学家 Jean Leray 定义了一类主要的弱解。在Leray的处理方案中,与其利用切确的向量,他用的是向量场的小邻域中的向量平均值。 Leray证明,当解能够采纳这种特殊形式时,我们总能求解NS方程。换句话说,Leray解不会失效。

  当物理学家认为这些方程的靠得住性就照实锤一样及时,数学家却对它们投以十分隆重的目光。在数学家眼中,这些方程的运作似乎并不合错误。他们想要证明的是这些方程是真的靠得住的:无论是什么流体,也无论对其流动的预测发生在多远的将来,这些方程的数学仍连结准确。而这种希望已被证明长短常难以达到的。因而,NS问题被列为七个千禧年大奖数学难题之一。

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  纳维叶-斯托克斯(Navier-Stokes)方程(简称NS方程)在流体力学界就相当于典范力学中的牛顿三大活动定律,它们描述的是气体和液体的活动在分歧的情况里会若何演化。正如牛顿第二活动定理描述一个物体的速度在外力感化下会若何改变一样,NS方程描述了流体的流动速度是若何遭到压力、黏度等内力以及重力一类的外力所影响的。这些方程的汗青可追溯到19世纪的20年代,现已被普遍的用来模仿从海流、到飞机起飞后的湍流、再到流精心脏的血液流动等各个范畴。

  数学家用一幅能告诉我们流体中每个位置的水流标的目的和大小的图来模仿这种彼此感化。这种被称为向量场的图是流体内部动态的写照。NS方程将这种写照更提拔了一个条理,它能精确地告诉我们向量场在随后的每个时辰会变成什么样子。

  为了申明这些方程会若何失效,能够以海流的流动为例。在它的内部可能有很多个交叉水流,以分歧的速度和标的目的在分歧的区域流动。这些交叉水流在不竭变化的摩擦和水压的感化中彼此感化,并决定着流体之后的流动。

  正因如斯,只要在 Leray解是并世无双的环境下,数学家才可以或许用他们来处理千禧年问题。非独一的Leray解将意味着完全不异的流体从完全不异的起始前提起头,可能终结于两个分歧的物理形态——这在物理上是不合错误的,同时这也意味着这些方程没能真正描述它们该当描述的工具。Buckmaster 和 Vicol 的最新研究功效初次证了然,对某些定义下的弱解来说,环境可能就是如斯。

  当数学家研究像NS如许的方程时,他们有时会从扩大对于解的定义起头。以NS方程为例来说,滑腻解要求的是最大化消息量,它们要求在与流体相关的向量场内,每个点都具有一个向量。但若是我们放松这一要求,好比只需要可以或许计较某些点上的向量,或者只需对向量的计较进行估算呢?如许的解称为“弱”解。它们让数学家对一个方程的行为有个大致个把握,而不需要做找滑腻解的所有工作。从某些角度来看,弱解比现实的解更容易描述,由于需要晓得的消息更少。

  Buckmaster 说:“我们正在测验考试弄清晰出这些方程中的一些固有问题,以及为何我们很可能必需得从头思虑这些问题。”

  Buckmaster 说:“一个可能的策略就是要证明这些弱的Leray解是滑腻的,若是能证明它们是滑腻的,那么就处理了这一千禧年大奖的难题。”

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  弱解是以渐弱的形态呈现的。若是将滑腻解看作是一张有着无限精细的分辩率的流体数学图像,那么弱解就像是这张图片的32位、16位或8位版本,取决于你想要的微弱程度。

  滑腻解是物理世界的完整写照,但从数学上讲,它们可能并不老是具有。研究NS方程的数学家们担忧这种环境呈现:假如我们正在运转NS方程,并察看向量场会若何变化。过了一段时间后,方程显示流体中的某个粒子正以无限快的速度挪动——问题便来了。NS方程涉及到的是对流体中的压力、摩擦力和速度等性质的变化进行丈量,它们取这些量的导数。我们无法对无限大的值进行求导,所以说若是这些方程里呈现了一个无限大的值,那么方程就可被认作为失效了。它们不再具有描述流体的后续形态的能力。

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  Buckmaster 和 Vicol 证了然NS方程具有的很多非独一的弱解。在必然程度上,弱解可能会变得很是亏弱,以致于它们遏制了真正意义上对滑腻解的仿照。若是是如许的话,那么 Buckmaster 和 Vicol 的成果大概不克不及走得太远。

  若是谁能找到NS方程毫不发生失效、或能确定让其失效的前提,谁就处理了NS方程难题。数学家对着一问题的此中一个研究策略,就是起首放宽它们的解的一些要求。

  这些方程描述的流体的流动就比如牛顿方程预测的行星在将来的位置一样靠得住,物理学家不断在用它们对流体活动进行模仿和预测,获得的成果与尝试成果相符。然而,对数学家来说,他们需要的不只是轶事证明,还需要证明这些方程是不克不及被违反的:不管起始于哪个向量场,也不管预测的是何等遥远的将来,这些方程总会且只能给你一个并世无双的新向量场。

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